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はたらく投資家

サラリーマン生活に疲れきっている投資家が奮闘する日記(ポロリはないよ)

高校数学偏差値70の私が確率を解いてみる (番外編 モンティ・ホール命題)

こんばんは。確率の問題を毎日1・2題ほど解いていっています。

先日、終物語を見ていたら、モンティ・ホール問題が取り上げられていました。

モンティ・ホール問題とは、アメリカのゲームショー番組「Let's make a deal」の中で行われたゲームに関する論争です。

以前からある問題なのですが、非常に興味深い確率の問題なのでその解説を書いていきます。

 

 

まず条件から

1.3つのドアがあり、その中に景品、ヤギ、ヤギが入っている(中身はわからない)。

2.プレイヤーはドアを選ぶ。

3.モンティ(司会者)は残りのドアのうち1つを開ける。

4.モンティの開けるドアは必ずヤギの入っているドアである。

5.モンティはプレイヤーにドアを選びなおしても良いと必ず言う。

 

f:id:yasokfw:20151012113440p:plain

 (wikipediaより転載)

 

 

この時プレイヤーが景品を当てるためには、ドアを選びなおしたほうが良いか、否か。どちらでしょう。

 

最初にドアを選ぶとき、景品が当たる確率は?

1/3です。3つのうち、1つだけ景品が入っているのですから、単純です。

逆に、ヤギのドアを選ぶ確率は2/3です。

 

次にドアを選ぶとき、景品が当たる確率は?

これが厄介なのです。場合分けを使って解いていきましょう。

ドアを選びなおさない場合

1/3です。当然、最初の選択から変化していないので、最初の選択の際の確率と同様の確率になります。

ドアを選びなおした場合

場合分けの登場です。

最初のドアを選ぶ際に、景品のドアを選んでいた場合

最初に選んだドアが景品でそのドアを選びなおすので、景品は当たりません。ヤギがあたります。

したがって、ドアを選びなおすことで間違いなくヤギが当たります。

最初のドアを選ぶ際に、ヤギのドアを選んでいた場合

最初に選んだドアがヤギで、モンティの開けたドアもヤギなので、最初のドア以外でモンティが開けずにいたドアには景品が入っています。

したがって、ドアを選びなおすことで間違いなく景品が当たります。

 

プレイヤーはどのような選択をすればよいか

結局、ドアを選びなおしたとき、当たる確率は?

上記より、ドアを選びなおした場合、

①景品のドアを選んでいた場合、必ずヤギのドアが当たる

②ヤギのドアを選んでいた場合、必ず景品のドアが当たる

ということが分かります。

最初に景品のドアを選ぶ確率は1/3、ヤギのドアを選ぶ確率は2/3です

したがって、ドアを選びなおした場合、

①1/3の確率でヤギが当たる

②2/3の確率で景品が当たる

と書き直すことができます。

 

結論

モンティ・ホール問題では、ドアを選びなおさない場合1/3の確率で、ドアを選びなおした場合、1/2の確率で景品が当たります。ドアを選びなおしたほうが景品を当てられる確率は上がるんですね。

直感的には「ドアを変更しても変更しなくても変わらない」というように捉えられることから、直感と理論が乖離している問題として有名になりました。

どうでしょう、確率的に理論的に考えることにより今まで見えてこなかったものが見えてくることがあります。日々の仕事や投資等でリスクとリターンを考える時があるでしょう。そんな時には、必ず確率がかかわってきます(もちろんそれだけではありませんが)。すぐには実践できないかもしれませんが、確率の問題を馬鹿にせず取り組んでいくことにより、人より一歩抜きんでた考えができるかもしれません。頑張っていきましょう。