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はたらく投資家

サラリーマン生活に疲れきっている投資家が奮闘する日記(ポロリはないよ)

高校数学偏差値70の私が確率を解いてみる part11(レベル2)

 こんばんは。最近とても涼しいですね。私は暑いのが苦手で寒いのも苦手なのですが、今ぐらいの気温が好きです。皆さんはどうでしょうか。今日も確率の問題をやっていきましょう。

 

円順列と数珠順列について

 

 

第1問 6人の生徒を円形に座らせると、全部で何通りあるか。(以下、この章では回転させて重なるものは同じものとみなしてください)

まず、6人の生徒を円形ではなく、一直線に並べる通り数を考える

6!=6*5*4*3*2*1

  =720

720通り

次に、円の特性を考える(円を回転させて重なるものを取り除く)

生徒がA~Fまでの6人いるとしましょう。

一直線に並べた場合、ABCDEFとFABCDEは異なる並べかたでした。

しかし、円にして回転させると同様の並び順となります。

この一直線の場合異なる並べ方だが、円になると同じ並べ方になるものを取り除きます。

どのようにして考えればよいでしょうか。

まず、6つの直線に並んでいる箱を考えて、A一人を6つの箱のどれかにいれるということを想像しましょう。この時Aをどの箱に入れるかを考えると、6通りです。

一直線にして異なる並べ方だが、円になると同じ並べ方になるものは円になったとき、Aとの相対的な位置関係が同じという特性があります。したがって、Aの位置を決定した時点で、ほかのB~Fの位置も決まります。上記で考えた通り、Aの位置は6通りですから、一直線にして異なる並べ方だが、円になると同じ並べ方になるものは、同様の6通りということになります。

 

ちょっと長くなってしまいましたが、重複している部分は、円の1つの並び順につき直線の6つの並び順が対応しているのです。

結論

重複部分は円一通りにつき直線6つであるため、

720/6=120

120通りが本問の答えとなります。

第2問 男子4人、女子2人の合計6人を円形に並べるとき、女子2人が隣り合うような並べ方は何通りあるか。

まず、女子2人の並び順を考える。

右か左かということですね。2人しかいないため、

2!=2*1

  =2

2通りです

次に、全体の並び順を考える(女子を1グループとしてみる)

第一問と同様に考えると、

5!/5=5*4*3*2*1/5

    =24

24通りです。

結論

 2*24=48

48通りが本問の答えです。